INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

MAEG – Investigação Operacional II – Modelos aleatórios de Stocks

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1.	Uma empresa vai instalar um equipamento complexo numa das suas linhas de montagem e pretende determinar quantas componentes de peças de substituição deve adquirir em relação a um elemento importante desse equipamento. A componente custa agora 10 000 €. Porém, se for comprada posteriormente à instalação do equipamento terá que ser fabricada por encomenda e custará 250 000 euros. No fim do período de vida útil do equipamento, estima-se que as componentes em sobra possuem um valor residual de 10 000 euros. Prevê-se que o equipamento dure 5 anos e que, durante esse período, o número de substituições obedeça a uma distribuição de Poisson com média 2 unidades. Considere uma taxa de actualização de 7,5% ao ano.

a)	Determine quantas componentes devem ser adquiridas conjuntamente com o equipamento;

b)	Em relação à política óptima, determine os custos esperados totais associados à existência de rupturas e a probabilidade de ser preciso mandar fazer alguma componente durante o período de vida útil do equipamento.

2.	A organização ABA vai realizar uma convenção daqui a 6 meses e precisa de decidir quantos quartos reservar no hotel da conferência. Os quartos reservados agora custam $50, mas ainda não se sabe quantas pessoas virão à conferência. Pensa-se que o número de quartos necessários seguirá uma distribuição normal com média 5 000 quartos e desvio padrão 2 000.

Se reservarem quartos a menos, cada quarto extra custará $80 e, como são mais distantes, tornam-se incómodos. Poder-se-á avaliar esse incómodo em $10 por quarto.

Se o objectivo for minimizar o custo esperado à ABA (e aos seus membros), quantos quartos devem ser reservados agora no hotel da convenção?

Suponha que a gerência devolve 20% do preço no caso de um quarto não ser utilizado. Determine, neste caso, o número de quartos a reservar;

E se a devolução for de 30%? Determine os custos esperados e também o número esperado de quatros extra.

3.	Suponha o exemplo anterior, mas em que a organização cobra a cada participante $70. Resolva o problema considerando apenas devolução de 30% no caso de um quarto contratado não ser utilizado (alínea c anterior). Determine a receita esperada.

4.	Um grossista recebeu de um fornecedor habitual de bicicletas uma última proposta de aquisição de um modelo cuja produção vai ser abandonada. Esta oportunidade oferecida pelo fornecedor tem um preço especial de 20 u.m. por bicicleta e coincide com o período de Natal. O grossista apurou os seguintes dados:

Os custos administrativos e de capital empatado relativos a uma bicicleta em inventário no fim do período de Natal de são de 1 u.m.;

O preço de venda de cada bicicleta durante o período de Natal é de 45 u.m.;

A quantidade de bicicletas vendidas durante o período de Natal obedece a uma distribuição exponencial com média 10 000 unidades;

O preço de venda de cada bicicleta nos saldos, a seguir ao Natal, é de 10

u.m.;

Foram estudadas duas alternativas para o problema da ruptura de stock: (1) perder o cliente e (2) recorrer a um outro armazém que fornece as bicicletas ao preço de venda (45 u.m.), incorrendo ainda o grossista num custo de transporte de 2 u.m. por artigo;

Se as bicicletas se esgotarem, o custo associado à perda de imagem é negligenciável.

Determine, de forma justificada, qual a melhor alternativa de resolução das situações de ruptura;

Determine a política óptima e respectivos custos associados;

Resolva o problema considerando que existe um custo de encomenda de 12 000 u.m. e existe um stock inicial de 5000 unidades;

d)	Determine a política óptima supondo válida apenas a 1ª alternativa, em caso de ruptura de stock, e que a procura durante o período de Natal

d.1) segue uma distribuição U(5 000; 10 000);

d.2) segue uma distribuição de Poisson com média 10 000;

d.3) segue uma distribuição N(10 000; 1000);

d.4) assume, com igual probabilidade, os valores (em milhares) 1, 2,…, 14, 15.

Um estudante está interessado em saber quanto dinheiro deve retirar da sua conta “poupança-férias”, para comprar “traveler´s checks” para a viagem pela Europa que tenciona fazer durante as férias de verão. O estudante já comprou 1 200 u.m. em “traveler´s checks”, com dinheiro dessa conta, mas receia que seja insuficiente. O estudante estimou as probabilidades associadas às suas necessidades, tendo construído a seguinte tabela:

Se resolver trocar menos dinheiro do que o necessário, terá de acabar as férias uma semana mais cedo por cada 100 u.m. em falta. O estudante valoriza por 150 u.m. cada semana que consiga passar na Europa, representando assim cada semana a menos uma perda de 50 u.m.. Cada cheque de 100 u.m. custa uma u.m.. Cada cheque que lhe sobre no final da viagem e que será reposto na referida conta, depois de deduzidas as comissões, valerá 98 u.m..

Diga quantos mais “traveler´s check” de 100 u.m. deve o estudante comprar.

(*) Considere o exercício 3, mas em que existe um custo fixo de ruptura de $5 000.

Determine neste caso a política de aprovisionamento.

O dono da Skilândia, uma loja perto de estâncias de ski europeias, pretende saber o número de skis que deve ter para vender na próxima época de 4 meses. Cada par de skis adquirido antes do início da época custa-lhe 12 u.m., triplicando o preço caso tenha que os comprar durante a época. Estima-se que o número de pares de skis procurados mensalmente durante a época siga uma distribuição normal de média 4000 e desvio padrão 500. O dono da Skilândia tem de pagar 5 u.m. por cada par de skis em armazém no final da época, vendendo de seguida cada par por apenas 10 u.m..

Determine quantos pares de skis deve o dono da loja adquirir, supondo que já tem 200 armazenados. Qual a probabilidade de ruptura?

No máximo, quanto estaria o dono da loja disposto a pagar pela armazenagem de um par de skis se pretender uma probabilidade de ruptura nunca superior a 20%? Verifique se a política óptima se mantém.

(*) Um lojista de bairro decide encomendar três produtos típicos da quadra natalícia para vender na véspera de Natal: bolo-rei, bolo-rainha e filhoses. Cada bolo-rei é comprado por 10 euros e vendido por 25 euros, o bolo-rainha é comparado por 12 euros e vendido por 24 euros, cada caixa de filhoses custa 8 euros e é vendida por 15 euros. Se o bolo-rei sobra pode ser vendido no dia a seguir ao Natal por 8 euros, o bolo-rainha por 10 euros e a caixa de filhoses por 5 euros. A procura de bolo-rei é uma variável aleatória normal de média 100 e desvio padrão 20, a procura de bolo-rainha é igualmente uma variável aleatória normal de média 80 e desvio padrão 25, enquanto a procura de filhoses é uma variável aleatória uniforme entre 50 e 80 caixas. O orçamento do lojista é de 2 500 euros para estas compras.

Determine a quantidade a encomendar de cada uma destas iguarias natalícias. Indique o custo esperado e as probabilidades de ruptura para cada um dos produtos.

(*) Considere-se um submarino que deve ser equipado com peças sobressalentes, aqui por simplicidade apenas de quatro tipos diferentes. Para cada tipo de peça, a procura durante uma viagem (campanha) do submarino é uma variável aleatória de poisson de média, respectivamente, 2, 3, 1,5 e 0,5. O espaço ocupado por cada peça é, respectivamente, 4, 3, 2 e 6 unidades de volume. Se alguma destas peças for necessária e não estiver disponível, obriga a uma paragem e a uma encomenda por avião, sendo os custos estimados em 1 500, 1 000, 5 000 e 10 000 u.m., respectivamente. O espaço disponível para estes quatro produtos é de 20 unidades de volume.

Determine o número de peças a levar de cada tipo, as probabilidades de ruptura e o custo total esperado de ruptura..

A procura de certo produto, num único período, ocorre no início do período e obedece a distribuição uniforme de 0 a 10 unidades. O custo unitário de posse no fim do período é de $0,50. O custo unitário de ruptura é de $4,50. O custo fixo de encomenda é de $5,00. Existem 6 unidades em armazém.

Deve ser feita alguma encomenda para este período? Se sim, qual o seu montante? Se não, indique a política a seguir no futuro.

Uma loja de computadores vende uma média de 1 000 caixas de discos por ano. A procura anual segue uma distribuição normal com media 1 000 e desvio padrão 40,8. Cada encomenda demora duas semanas a ser entregue. O custo por encomenda é $50 e o custo de possuir uma caixa durante um ano é $10. O custo de ruptura é $20 por cada caixa. O gerente da loja pensa que toda a procura pode ser satisfeita com atraso.

Qual a política de aprovisionamento que deve ser seguida?

Numa pequena loja de bairro, a procura semanal de determinado artigo segue uma distribuição exponencial de média 600. De cada vez que o lojista pede uma nova encomenda, incorre num custo de 25u.m., demorando uma semana a chegar. O custo unitário de posse é de 0.05u.m. por semana. O custo unitário por venda diferida é de 0.5 u.m..

Determine a política óptima de aprovisionamento.

Considere uma empresa que encomenda quantidades fixas em intervalos de tempo variáveis (quando o stock atinge determinado nível), com vendas diferidas e a assumir os seguintes dados:

D = 1 200 unidades/ano

Prazo de reaprovisionamento = 1 semana

C. Lançamento da encomenda = 800 u.m.

Custo unitário aquisição = 100 u.m.

Taxa de posse = 0,12

C. Ruptura / unidade diferida = 200 u.m.

Procura mensal = N (100, 20)

Determine o ponto de encomenda que optimiza o custo total por unidade de tempo para a quantidade da encomenda 100;

Se o ponto de encomenda for 50 unidades, qual é a quantidade da encomenda que minimiza o custo total por unidade de tempo?

Determine a política óptima;

Suponha que o custo de ruptura é desconhecido, mas a empresa considera que é elevado devido à degradação da sua imagem e, por isso, estabelece um nível de serviço dado pela percentagem esperada da procura que é satisfeita em 98%. Determine a política de aprovisionamento. Qual é neste caso o custo de ruptura implícito?

Resolva a alínea anterior, mas considerando que a medida do nível de serviço é dada pelo número esperado de ciclos durante o ano em que ocorre ruptura e esse nível deve ser no máximo 0,5. Qual o custo de ruptura implícito?

Resolva o exercício anterior, mas supondo um sistema de vendas perdidas.

Num modelo de período único com procura exponencial, de valor esperado λ, determine:

a)	A probabilidade de ruptura em função da encomenda;

b)	A quantidade a encomendar em função dos custos unitários do sistema.

Uma empresa comercializa um produto cuja procura média anual é uma v. a. normal de média 10 000 unidades e desvio padrão 900. O custo à saída do fornecedor é de 50 $/unidade. O frete custa 5 $/unidade e o seguro custa 2% sobre o preço de aquisição. Ao entrar em armazém o produto tem custos de movimentação de 1 $/unidade. Os custos de inspecção e controle têm uma componente fixa de 500 $ e uma componente variável de 0,5 $/unidade. O custo de cada encomenda é de 600 $. O prazo de reaprovisionamento é de 15 dias e a taxa de posse é de 15% ao ano. Caso o produto não esteja disponível, o cliente aguarda, mas existe um custo de ruptura de 66 $/unidade.

Determine a politica de aprovisionamento;

(*) Considere-se que o custo de ruptura é de independentemente do número de unidades em ruptura.

Considere-se o exercício anterior, mas em que estudos empíricos indicam que a procura durante o prazo de reaprovisionamento é uma variável aleatória uniforme entre 100 e 730 unidades, mantendo-se a restante informação.

Determine a política de aprovisionamento neste novo contexto de incerteza.

18.	Uma empresa comercializa um produto cuja procura média anual é uma v. a. normal de média 10 000 unidades e desvio padrão 900. O custo à saída do fornecedor é de 50 $/unidade. O frete custa 5 $/unidade e o seguro custa 2% sobre o preço de aquisição. Ao entrar em armazém o produto tem custos de movimentação de 1 $/unidade. Os custos de inspecção e controle têm uma componente fixa de 500 $ e uma componente variável de 0,5 $/unidade. O custo de cada encomenda é de 600 $. O prazo de reaprovisionamento é de 15 dias e a taxa de posse é de 15% ao ano. Caso o produto não esteja disponível, a empresa vai à concorrência comprá-lo por 66 $/unidade e paga um frete (incluindo seguro) de 1 $/unidade, sendo imediatamente entregue.

a)	Sabendo que a empresa encomenda sempre a mesma quantidade ao longo do ano, determine a política a seguir;

b)	Supondo que o meio de transporte utilizado tem apenas capacidade para 1200 unidades, determine neste caso a política;

c)	Acha que vale a pena negociar um meio de transporte com capacidade para 1700 e um custo adicional de 450 $ por cada viagem? Justifique;

d) (*) Suponha que adicionalmente existe uma penalização de 1 000 $ no caso de falha no fornecimento do produto, uma vez que o comprador tem de activar mecanismos de emergência no seu processo produtivo. Qual a política a seguir?

Considere-se o exercício 16, mas em que se desconhece o custo de ruptura, mas se estabeleceram duas medidas de performance, SLM1 e SLM2.

Determine a política considerando a medida SLM1 igual a 98%;

Determine a política considerando SLM2 igual a 0,5.

20. Considere o exercício 13, mas em que a empresa adopta um sistema de revisão periódica (calendário), com revisões mensais, com custo de revisão igual a 200 um..

a)	Determine a política de aprovisionamento, incluindo o stock de segurança, probabilidade de ruptura e custo anual médio;

Suponha que o custo de ruptura é desconhecido e a empresa estabelece um nível de serviço dado pelo número esperado de ciclos durante o ano em que ocorre ruptura e que esse nível deve ser no máximo 0,5. Determine a política de aprovisionamento neste caso. Qual é, neste caso, o custo de ruptura implícito?;

Suponha que o custo de ruptura é desconhecido e a empresa estabelece um nível de serviço dado pela percentagem esperada da procura que é satisfeita em 99%. Determine a política de aprovisionamento. Qual é neste caso o custo de ruptura implícito?:

Por via numérica, determine de forma aproximada a periodicidade óptima para as revisões do stock.

(*) Considere o exemplo anterior, mas em que o custo de ruptura é fixo e de montante igual a 1 000 € e o período de revisão é de 4 meses.

Determine a política.

Suponha os dados do exemplo 18, mas em que a empresa, para maior simplicidade administrativa, encara mudar para um sistema de calendário com revisões trimestrais, que custam 300 $ cada uma.

Determine a política neste caso e compare-a com a politica adoptada no sistema de ponto de encomenda;

E se o período de revisão for optimizado, qual a conclusão a tirar?;

(*) E se adicionalmente houver um custo fixo de ruptura, correspondente a uma penalidade por falha, de 3 000 $?

No exemplo 20 suponha-se que o custo de ruptura é desconhecido e que a empresa estabelece um nível de serviço dado pelo número esperado de ciclos durante o ano em que ocorre ruptura e que esse nível deve ser no máximo 0,5.

Determine a política de aprovisionamento neste caso. Qual é, neste caso, o custo de ruptura implícito?

Considere-se o exercício anterior, mas supondo que o sistema é de vendas perdidas e que se pretende um nível de serviço dado pela percentagem esperada da procura que é satisfeita em 99%.

Qual a política recomendável?